Быстрое преобразование Фурье
Одним из основных понятий в теории сигналовявляется понятие спектра. Понятие спектра возникает при разложении сигналов в обобщенный ряд Фурье по системе базисных функцийhk(t)
s(t) = C0h0(t) + C1h1(t) +…+ Cihi(t) + …= (2.17)
Коэффициенты ряда Ck определяются по формуле
Ck = =   , (2.18)
где ta - tb – интервал существования сигнала s(t) и попарной ортогональности базисных функцийhk(t),
Pk = 2 =  - cредняя мощностьhk(t).
Таким образом, в числителе (2.18) записывается выражение для взаимной энергии (мощности) сигнала s(t) и базисной функцииhk(t), а в знаменателе – выражение для энергии (мощности) базисной функции.
В формулах (2.17), (2.18) переменная k является дискретной величиной, по которой упорядочена система базисных функций (например для системы базисных функций вида: 1, cos(wt), cos(2wt),… k=0,1,2…), а t – непрерывной величиной.
 Совокупность коэффициентов Фурье {Ck} и носит название спектра сигнала s(t). Графическое представление коэффициентов {Ck} в виде вертикальных отрезков (рис) дает наглядное представление о спектре сигнала.
Произведение Ckhk(t) определяется как спектральная составляющая сигнала. Тем самым обобщенный ряд Фурье представляет сигнал s(t) в виде бесконечной суммы спектральных составляющих.
Выражение (2.17) является основой для синтеза сигналов из набора базисных функций.
В радиотехнике наибольшее применение для спектрального анализа сигналов нашли тригонометрические {cos(nx), sin(nx)}и комплексные экспоненциальные {einx} базисы. Однако в ряде случаев используются и другие базисные функции. В частности при дискретизации непрерывных сигналов по времени используют функции Котельникова вида sin(x)/x.
Система тригонометрических функций кратных аргументов {cos(nw0t), sin(nw0t)} (n = 0, 1, 2, 3..) является полной и ортогональной на интервале (t0, t0+T), где t0 – произвольная величина, а Т = 2p/w0.-период базисных функций.
Произвольный сигнал s(t) конечной мощности можно разложить на интервале (t0, t0+T) в ряд по тригонометрическому базису
s(t) = a0/2 + a1cos(w0t) + a2cos(2w0t) + …+ ancos(nw0t) +
+ b1sin(w0t) + b2sin(2w0t) + bnsin(nw0t) +… (2.19)
илиs(t) = a0/2 + приt0£t£t0+T.
Выражение (2.19) называют тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициенты an и bn – амплитудами косинусоидальных и синусоидальных членов разложения s(t). Значения коэффициентов an и bn вычисляются по следующим формулам
an = = (2.20)
bn = = (2.21)
= (2.22)
Коэффициент равен среднему значению функции s(t) на заданном интервале времени. Коэффициенты an характеризуют распределение по частотам мощности четной компоненты сигнала, а коэффициенты bn-нечетной.
Учитывая известное тригонометрическое соотношение
C cos(wt+j) = C cos(wt) cosj-C sin(wt) sin(j) = C1 cos(wt) – C2 sin(wt)
выражение (2.5) можно представить в несколько иной форме
s(t) = А0/2 + , (2.23)
где А0/2 = a0/2, An = ,
Совокупность амплитуд An и фаз для гармонических составляющих на кратных частотах называют соответственно амплитудным и фазовым спектром.
От представления (2.23) учитывая соотношение
= (2.24)
можно перейти к разложению s(t) по базису комплексных экспоненциальных функций {einx}
s(t) = (2.25)
или s(t) =, , n=0,±1,±2,..
Коэффициенты рассчитываются следующим образом
= (2.26)
Нетрудно показать, что коэффициенты ряда (2.25) выражаются через коэффициенты ряда (2.19)
= an - ibn (2.27)
Исходя из этого считают, что косинусоидальные коэффициенты an разложения в ряд Фурье отражают действительную (real) составляющую комплексного спектра, а коэффициенты bn-мнимую (imagin) составляющую.
Выражения для расчета спектральных коэффициентов дискретизированного (т.е. представленного в виде отсчетов) сигнала конечной длительности трансформируются в алгоритм дискретного преобразования Фурье (ДПФ)
= , (2.28)
Разделы:
| 
