Параметры аппроксимирующей функции

При этом нахождение вида зависимости между X и Y сводится к указанию способа расчета значений параметровqj по исходным данным (Xi, Yi), i = 1¸n. Значенияqj позволяют по заданному значению фактора X предсказывать закономерную часть отклика Y.

При выборе методов определения параметров регрессионной модели в большинстве случаев исходят из минимизации суммы квадратов отклонений (остатков): S =®min (2.2)

Такой метод расчета коэффициентов аппроксимирующей функции и носит название метод наименьших квадратов (МНК).

При аппроксимации экспериментальных данных линейной функцией соотношение (2.1) принимает вид:

Yi = A + Bxi + i = 1,.., n (2.3)

Для нахождения оценок по методу наименьших квадратов необходимо найти частные производные dS/dA и dS/dB выражения

(2.4)

и приравнять их к нулю. В результате получается система уравнений относительно неизвестных коэффициентов A и B:

(2.5)

(2.6)

В результате решения этой системы уравнений оценки и получаются в следующем виде:

== (2.7)

Аналогично = (2.8)

Для упрощения расчетных формул выражение (2.3) переписывается в виде

Yi = a + B(Xi-) + (2.9)

где, a = A + B. Этот переход означает перенос начала отсчета на оси абсцисс в точку, которая служит центром выборки X1,..Xn.

В новой системе координат и выражения для расчета оценок коэффициентов упростятся:

, (2.10) (2.11)

Среднеквадратичные погрешности оценок и рассчитываются следующим образом:

, (2.12) , (2.13)