Аппроксимация экспериментальных данных
Важнейшей задачей экспериментального анализа является обработка экспериментальных данных и установление эмпирических закономерностей для исследуемых процессов (установление математической модели процесса или зависимости). В процессе построения эмпирических формул широко используются различные функциональные зависимости, при этом само построение эмпирических формул производится в два этапа: сначала выясняется общий вид зависимости, а затем определяются ее наилучшие параметры.
Задача выбора вида функциональной зависимости – задача не формализуемая, поскольку один и тот же набор экспериментальных данных примерно с одинаковой точностью может быть аппроксимирован самыми разными аналитическими выражениями. Исходя из этого при выборе функциональной зависимости во главу угла ставят удобство ее последующего использования. Основное, что обеспечивает удобство математического выражения, – его компактность, достигаемая минимизацией числа функций и их параметров. Другое важное требование – это содержательность или интерпретируемость предлагаемого аналитического описания. Это требование удовлетворяется путем придания определенного физического смысла параметрам или функциям, входящим в предлагаемую математическую модель.
После того, как модель экспериментальной зависимости выбрана, вопросы оценки ее параметров решаются достаточно формально с помощью методов регрессионного анализа.
В регрессионном анализе исходными данными являются набор независимых (independent) числовых переменных X1, X2, ..Xn и набор зависимых (dependent) переменных Y1, Y2, ..Yn. Для краткости набор X1, X2, ..Xn объединяется в многомерную переменную X, а Y1, Y2, ..Yn – в переменную Y. В современной теории эксперимента независимые переменные X1, X2, ..Xn принято называть факторами, а зависимую переменную Y-откликом.
При этом предполагается, что наблюдаемые в опыте значения отклика Y можно мысленно разделить на две части: одна из них закономерно зависит от X, т.е. является функцией X; другая часть – случайна по отношению к X.
Y = F(X) +e= F(Xi,qj) +e, (2.1)
гдеe=e1,e2, ..en – многомерная случайная величина, обусловленная ошибкой эксперимента (предполагается, что случайные величиныei статистически независимы и одинаково распределены),
qj – набор параметров аппроксимирующей функции.
Разделы:
|
